Infinitos (tercera parte)

Esta es una pildorita de matemáticas high level pero todos lo podéis entender. ¡Concentración!

Recordamos lo que ya hemos visto: los números naturales, enteros y racionales, son conjuntos infinitos con el mismo número de elementos. ¿Por qué? Porque podemos emparejarlos o, si pensamos que los números naturales son las habitaciones de un hotel, podemos alojar en él a todos los elementos de los otros dos conjuntos. Dicho de otra forma:

"Un conjunto infinito tiene los mismos elementos que el conjunto de los números naturales cuando puedo hacer una lista con sus elementos" (que sería la lista de las parejas o de la asignación de las habitaciones del hotel). A estos conjuntos se les dice infinitos numerables o contables.

La pregunta surge sola en una mente curiosa: ¿hay conjuntos infinitos más grandes que el de los números naturales?

Respuesta: sí.

¿Un ejemplo? El conjunto de los números reales entre 0 y 1. (Daría igual pero no vamos a incluir el 0 y el 1).

¿Alguna demostración que podamos entender? El razonamiento de la diagonal de Cantor:

1) Vamos a suponer que existe una lista con todos los números reales entre 0 y 1. La empiezo yo (los exactos los completo con ceros):

1) 0'14159534...

2) 0'33333333...

3) 0'71717171...

4) 0'21221222...

5) 0'30000000...

6) 0'00346447...

7) 0'79756474...

8) 0'43434356...

...                       

2) ¿Me sabéis construir un número (hay infinitos) que sepamos seguro que NO está en la lista?

Efectivamente, iríamos formando un número 0'... con:

- su primera cifra decimal distinta de 1, por ejemplo 2,

- su segunda cifra decimal distinta de 3, por ejemplo 4,

- su tercera cifra decimal distinta de 7, por ejemplo 8,

- ...

- y así hasta el infinito,

y es seguro que el número que vamos formando 0'24831587... NO está en la lista (porque tiene al menos una cifra distinta a la de cualquiera que sí lo esté).

3) Recapitulamos: hemos intentado construir una lista de todos los números reales entre 0 y 1 y resulta que siempre vamos a poder encontrar al menos uno que no está en esa lista (hay infinitos, pero nos hemos preocupado de encontrar uno). Yendo a nuestro hotel: ¡no hay suficientes habitaciones para tantos huéspedes!

4) Conclusión: acabamos de probar que los números reales entre 0 y 1 son más que los números naturales (y enteros y racionales).

Comentario final. Hay que hacer alguna precisión a lo que os he contado: recordad que muchos  números (infinitos de hecho) podemos escribirlos de más de una manera, por ejemplo:

0'3 = 0'2999999...

pero este detalle no afecta a la idea, así que no lo voy a contar (eso sí, aprovecho para colar una frase que me gusta mucho y quiero que tengáis siempre en cuenta: el diablo está en los detalles. En matemáticas hay que demostrarlo todo porque son muchas las veces en las que, al intentar ajustar detallitos aparentemente obvios y secundarios, se han descubierto nuevas matemáticas escondidas).

Continuará...