Infinitos (cuarta y última parte)

¡¡Peligro: matemática muy avanzada!!

(Los de bachillerato debéis seguir la entrada, entender la primera pregunta y hacer el ejercicio. Para el resto todavía es magia).

En las entregas anteriores hemos visto que:

1) Los números naturales, enteros y racionales (fracciones) son conjuntos infinitos que tienen el mismo número de elementos.

2) El conjunto de los números reales entre 0 y 1, escrito como intervalo (0, 1), tiene más elementos, son un "infinito más grande".

Hay dos preguntas interesantes:

i) ¿Y todos los números reales, son más que los que hay entre 0 y 1? La respuesta es que no, que son la misma cantidad. Pasa algo parecido a lo que ocurría con los naturales y los enteros: parecen más, pero podemos emparejarlos. Veamos cómo:

Por ejemplo (hay muchas otras maneras), utilizando la siguiente función biyectiva:

ii) ¿Existe algún conjunto "intermedio" entre los números naturales y los reales? Esto es uno de los problemas más importantes de la historia de las matemáticas y la respuesta es que:

- los matemáticos creyeron que no y lo intentaron demostrar durante varias décadas (se llama Hipótesis del continuo),

- en una época dramática para las matemáticas se demostró: Gödel en 1940, que no puede probarse ni que sea verdad ni que sea mentira  y, Cohen en 1963, que podemos hacer "dos" matemáticas suponiendo que sí hay un "infinito intermedio" o que no lo hay.

Os dejo dos vídeos en los que Mates Mike desarrolla lo que hemos estado viendo: