Disfrutad del verano y, a más largo plazo, aprovechad a tope la oportunidad de estar en el instituto.
Sed felices.
GRACIAS CHICOS.
21 junio 2022
Gracias
17 junio 2022
2º de ESO. Examen de probabilidad
Como habéis podido comprobar el tema de la probabilidad (lo que hemos visto basado en el conteo de casos) tiene su puntito. Si adquirís ahora soltura, cuando la cosa se complique os sentiréis mucho más cómodos. Hacedme un último esfuerzo e intentad que el contenido del examen os quede totalmente claro.
08 junio 2022
29 mayo 2022
2º de ESO. Preparando el examen global/recuperación de la 3ª evaluación
Habrá:
- problemas de Funciones,
- problemas de Pitágoras y Semejanza,
- problemas de Áreas y Volúmenes.
Os cuelgo exámenes antiguos (los tres primeros tienen preguntas de Estadística -que no hemos visto; pasad de ellas-; los dos últimos no tienen preguntas de Áreas y Volúmenes):
26 mayo 2022
2º de ESO. Examen de Áreas y Volúmenes
Como siempre, hacedlo con calma en casa este fin de semana. Lo recojo el lunes. Es importante que no queden dudas de cara al examen global que haremos próximamente.
23 mayo 2022
19 mayo 2022
2º de ESO. Material del Tema 12. Probabilidad
Vamos con el último tema del curso en el que vamos a adentrarnos en una rama muy importante de las matemáticas: el estudio del azar.
Por cierto, el nombre viene del árabe az-zahr que significa flor. ¿Y qué tiene que ver una cosa con la otra? Porque era el dibujo de una flor en una de sus caras lo que indicaba la victoria en un antiguo juego de lanzamiento de dados (tabas).
Os enlazo el material que vamos a utilizar:
Aprovecho para enseñaros un mecanismo interesante: la máquina de Galton.
Imaginad un dispositivo como el de la figura por el que vamos dejando caer una bolita que tiene que superar varias barreras de obstáculos: en cada una, la bolita tiene la misma probabilidad, 0'5, de ir a la izquierda o a la derecha.
Es decir, en el fondo esto es como lanzar una moneda 8 veces y contar las caras (o las cruces):
- 0 caras (8 cruces) equivalen a que la bola acabe a la izquierda del todo,
- 4 caras (4 cruces) es como si la bolita cayese en el centro,
- 8 caras equivalen a que la bola acabe a la derecha del todo.
Este tinglado proporciona una hermosa demostración visual de uno de los resultados más importantes de las matemáticas, el Teorema Central del Límite (os espera en Bachillerato). Os presento a la famosa campana de Gauss.
18 mayo 2022
12 mayo 2022
Feliz Día de la Mujer Matemática
En honor a Maryam Mirzajani (Teherán, Irán, 12 de mayo de 1977), primera ganadora de la Medalla Fields, hoy se celebra el Día de la Mujer Matemática.
11 mayo 2022
Sólidos platónicos
Deben su nombre a que Platón (uno de los más grandes filósofos de la antigüedad, cuando filósofo significaba "chico para todo") fue el primero en estudiarlos.
La pregunta que Platón se planteó fue: si considero los polígonos regulares (aquellos en los que todos los lados y ángulos miden lo mismo: triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular, hexágono regular, heptágono regular,...), ¿qué figuras de tres dimensiones puedo formar juntando polígonos iguales?
Y la respuesta es que sólo hay 5 posibilidades (es una demostración bonita). Aquí los tenéis (imagen de la Wikipedia):
Ejercicio: divide el día de tu cumpleaños entre 4 y:
- si el resto es 0 te ha tocado el tetraedro,
- si el resto es 1 te ha tocado el octaedro,
- si el resto es 2 te ha tocado el dodecaedro, y
- si el resto es 3 te ha tocado el icosaedro.
Si lo haces a un nivel Víctor tienes un punto extra en el próximo examen.
(P.D.) Las reclamaciones si os ha tocado el más difícil, a vuestros padres: ¡que hubiesen calculado mejor el día!
(P.D.2) Si os habéis quedado con ganas aquí tenéis más:
06 mayo 2022
Concurso de Primavera
Vuestra brillante y encantadora compañera Sofía ganó en la Fase Regional del Concurso de Primavera la medalla de oro en el nivel de Bachillerato y el resto de nuestros "guerreros" también compitieron muy bien. ¡El año que viene más!
¡Enhorabuena a Sofía y muchas gracias a todos por vuestro esfuerzo!
03 mayo 2022
2º de ESO. Examen de Pitágoras y semejanza
¡Sin lugar a dudas el examen que más me ha divertido preparar! 😂
Hacedlo en casa con calma porque es importante que lo entendáis todo. Corregidlo y poneos nota. Lo recojo el próximo lunes.
30 abril 2022
2º de ESO. Material del Tema 11. Áreas y volúmenes
Vamos con el último tema de la 3ª evaluación (¿a que os ha encantado lo de la 4ª evaluación?).
Un tema bonito y divertido pero exigente, no por la dificultad en sí sino porque vamos a trabajar la visión espacial y los ejercicios son largos y os van a obligar a una planificación a la que no estáis acostumbrados (pero que por eso mismo es una cualidad importante que tenéis que empezar a desarrollar).
Utilizaremos el siguiente material:
1) ÁREAS Y VOLÚMENES.
2) TRONCOS.
3) EJERCICIOS
25 abril 2022
22 abril 2022
Concurso de TikTok
Haz clic en la imagen para ir a las instrucciones y el formulario de inscripción:
07 abril 2022
III Reto de Pi: Arquímedes
Si me pedís que os haga una lista con los más grandes matemáticos de la Historia, en esa lista estarían, en la cima, Arquímedes, Newton, Euler y Gauss. La muerte del primero está envuelta en la leyenda:
Uno de sus logros matemáticos más famosos fue dar la aproximación 22/7 = 3'14... para p (por eso el 22 de julio se celebra el "Día de la aproximación arquimediana de p"). ¿Cómo lo hizo? Con polígonos regulares de 96 lados. Vamos a ver la idea.
A Arquímedes se le ocurrió que como p es el área de una circunferencia de radio 1 podía aproximarla construyendo polígonos dentro de ella (inscritos; la aproximación sería por defecto) y polígonos por fuera (circunscritos; aproximaría por exceso).
Se puso manos a la obra y empezó con el hexágono (es cómodo porque con los radios se forman seis triángulos equiláteros y así sus lados miden lo mismo que el radio). La idea es ésta:
Luego siguió haciendo lo mismo con polígonos de 12, 24, 48 y 96 lados (la vida no le dio para más; cuantos más lados, más se acercan los polígonos a la circunferencia y mejor es la aproximación). ¿Por qué esta duplicación? Porque es fácil (nivel 2º de ESO), una vez que tienes los datos de un polígono de un número determinado de lados (radio, lado y apotema), obtener los del polígono con el número doble de lados. Vamos a verlo con el paso del cuadrado al octógono (ese va a ser nuestro reto).
Reto III. Para calentar aproxima p calculando las áreas de los cuadrados inscrito y circunscrito de una circunferencia de radio 1 (cuya área es, por lo tanto p; es una aproximación muy "bruta"). Va el dibujo y las pistas:
Reto III. Para calentar aproxima p calculando las áreas de los cuadrados inscrito y circunscrito de una circunferencia de radio 1 (cuya área es, por lo tanto p; es una aproximación muy "bruta"). Va el dibujo y las pistas:
Y ahora aproxima p calculando las áreas de los octógonos inscrito y circunscrito de una circunferencia de radio 1 (cuya área es, por lo tanto p). Van las pistas:
1) Apunta cuánto valen la apotema y el lado del cuadrado inscrito (a y l) que has hecho antes. Con esos datos el lado L y la apotema A del octógono inscrito salen con un par de Pitágoras.
2) El octógono circunscrito se forma con rectas tangentes a la circunferencia (líneas discontinuas en el dibujo). Y en este caso se forman dos triángulos rectángulos isósceles que nos permiten obtener el lado L del octógono circunscrito. Como la apotema es 1, ya tenemos el área.
Hoy en día todos esos cálculos son prácticamente instantáneos utilizando una hoja de cálculo:
Pasados estos 1500 años los matemáticos encontraron mejores formas de aproximar p... CONTINUARÁ.
05 abril 2022
2º de ESO. Material del Tema 10. Semejanza
Para mí éste es un tema precioso y espero que también os lo parezca a vosotros. Iremos avanzando:
1) SEMEJANZA.
2) TEOREMA DE TALES. TRIÁNGULOS SEMEJANTES.
Vídeo de la demostración del Teorema de Tales
3) TEOREMAS DE LA ALTURA Y EL CATETO.
04 abril 2022
Mapamundi
Si nos piden que pensemos en un mapa de nuestro planeta, a la mayoría nos viene algo así a la cabeza:
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| Mapamundi de Mercator |
Y si a la vista del mismo nos preguntaran, por ejemplo, ¿qué es más grande, Groenlandia o África?, tendríamos que pensarnos la respuesta... aunque en realidad no hay mucho que pensar:
- Superficie de Groenlandia = 2'2 millones de km.
- Superficie de África = 30'4 millones de km.
Sí, África es unas 14 veces mayor que Groenlandia. ¡¿Qué está pasando aquí?!
Naturalmente todo tiene una explicación (¡matemática!) y es la siguiente:
No es posible representar, de forma semejante, la superficie de una esfera (y la Tierra lo es) en un plano. Es decir, podemos hacer "una especie de boceto", pero siempre habrá alguna distorsión.
El mapamundi más habitual (el de arriba) se basa en la proyección cartográfica de Mercator, que tiene la pega de que aumenta el tamaño de las regiones según se alejan del ecuador (y se acercan a los polos). Para que veáis más claro el "efecto mercator":
Hay otras opciones aunque todas tienen sus pegas. Por ejemplo, los dos siguientes mapamundis respetan mejor los tamaños de las regiones terrestres (¿cómo veis ahora lo de África y Groenlandia?), pero el primero es un lío para las distancias por mar y en el segundo es muy difícil orientarse:
Os enlazo dos artículos sobre este tema y otras curiosidades:
Os enlazo dos artículos sobre este tema y otras curiosidades:
31 marzo 2022
Construyendo mi ataúd
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| Corpus hypercubus, de Salvador Dalí |
Mido 1'94 y, cuando muera (¡lo que tengo que hacer para captar vuestra atención!), me gustaría que mi ataúd tuviese forma hipercúbica de 1 centímetro de arista. Ya os aseguro que quepo. ¿En qué dimensión empieza a ser eso posible?
Primero vamos a responder a tres preguntas:
1) ¿Cuánto mide el segmento más largo que puedo pintar encima de un segmento de 1 centímetro?
La respuesta es fácil, como mucho, encima de ése, podré pintar otro segmento que mida 1 centímetro.
2) ¿Cuánto mide el segmento más largo que puedo pintar en un papelito cuadrado de 1 centímetro de lado?
Claramente el segmento más largo que podemos pintar es la diagonal del cuadrado. Llamamos a Pitágoras:
Es decir, como mucho podemos pintar un segmento de longitud raíz de 2 = 1'4142... centímetros.
3) ¿Cuánto mide la varilla más larga que puedo meter dentro de un cubo de 1 centímetro de arista?
Es muy parecido al caso anterior: lo más largo de un cubo es su diagonal, y podemos calcular su longitud aplicando Pitágoras (notad que las diagonales de las caras, que son cuadrados, miden raíz de 2):
Es decir, la varilla más larga que cabe mide raíz de 3 = 1'732...
Conclusiones:
- en un segmento de 1 cm (dejadme rebautizarlo: "hipercubo de dimensión 1" con "arista" 1 cm), lo más grande que "cabe dentro" puede medir 1 cm,
- en un cuadrado de 1 cm de lado ("hipercubo de dimensión 2" con "arista" 1 cm), lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 2 = 1'4142... cm,
- en un cubo de 1 cm de arista ("hipercubo de dimensión 3" con arista 1 cm), lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 3 = 1'732... cm.
Efectivamente, esto sigue (matemáticamente existe y en el mundo real no lo sabemos -nadie ha demostrado que haya más de 3 dimensiones espaciales pero algunas teorías físicas sí plantean esta posibilidad-), y aunque hacer dibujos es (casi) imposible, las cuentas salen igual de fáciles y queda claro que las diagonales van siendo cada vez más y más largas:
- en un hipercubo de dimensión 4 con arista 1 cm, lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 4 = 2 cm,
- en un hipercubo de dimensión 5 con arista 1 cm, lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 5 = 2'236... cm,
- en general, en un hipercubo de dimensión n con arista 1 cm, lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de n cm.
Responded ahora: ¿de qué dimensión tenéis que construir un "hiperataúd" de 1 cm de arista para que quepa un profesor de matemáticas de 194 cm?
Nota final: he dicho antes que los dibujos son casi imposibles. De igual manera que en las fotos o en los cuadros representamos en 2 dimensiones (utilizando la perspectiva) la realidad de 3 dimensiones (fijaos también en cómo dibujamos un cubo), en 3 dimensiones pueden hacerse representaciones del hipercubo de 4 dimensiones. Son ejemplos el cuadro de Dalí del principio o algunos monumentos (haced clic en las imágenes para saber algo más de ellos):
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| Monumento de la Constitución, en Madrid |
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| Arco de la Defensa, en París |
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| "Dibujo" de un hipercubo 4D |
29 marzo 2022
2º de ESO. Examen de funciones
Aquí lo tenéis.
Como siempre, dadle un buen repaso. Hacedlo en casa: lo recojo el próximo lunes.
26 marzo 2022
Retos. ¡Clasificación final!
¡Enhorabuena a los ganadores y muchas gracias a todos los que lo habéis intentado!
Soluciones del Reto VIII:
Solución del Reto 8 de 1º y 2º de ESO (Nivel Évariste Galois)
Solución del Reto 8 de 3º y 4º de ESO (Nivel Carl Friedrich Gauss)
Solución del Reto 8 de 1º y 2º de Bachillerato (Nivel Sophie Germain)
Y recordad que para matar el gusanillo tenéis los Retos de Pi:
23 marzo 2022
2º de ESO. Material del Tema 9. Teorema de Pitágoras
En este tema vamos a ver y a sacarle partido al Teorema de Pitágoras. Al principio aprovecharemos para repasar el estudio de longitudes y áreas que vimos en 1º de ESO. Iremos en este orden:
1) Teorema de Pitágoras.
2) Repaso del estudio de longitudes y áreas.
3) Ejercicios de aplicación.
Utilizaremos el siguiente material:
Perímetros y áreas de figuras elementales (1º de ESO)
22 marzo 2022
2º de ESO. Preparando el examen de funciones
Aquí os subo los exámenes de años anteriores (el 5 y el 6 son los del año pasado y los que más me gustan; en el 6 pasad del ejercicio 2):
| Examen 1 | Solución |
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| Examen 2 | Solución |
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| Examen 3 | Solución |
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| Examen 4 | Solución |
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| Examen 5 | Solución |
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| Examen 6 | Solución |
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Aquí van dos exámenes que incluyen algunas preguntas de dominios que son más de 3º de ESO (pasad de ellas):
19 marzo 2022
II Reto de Pi: el conjunto de Mandelbrot
Os presento una de las imágenes más famosas de las matemáticas:
 |
| Conjunto de Mandelbrot |
¿Qué es eso y qué tiene que ver con p?
Hagamos historia: a principios del siglo XX los matemáticos empezaron a estudiar un nuevo conjunto de objetos, los fractales. Simplificando mucho se trata de objetos cuya estructura se repite a distintas escalas. Se entiende bien con un ejemplo. Copio en la entrada de la Wikipedia del Copo de nieve de Koch.
Se toma un segmento,
se remplaza la parte central por dos partes de igual longitud haciendo un ángulo de 60 grados.
Luego, con los cuatro segmentos, se procede de la misma manera, lo que da lugar a 16 segmentos más pequeños en la segunda iteración. Y así sucesivamente.
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| Y esto seguiría hasta el infinito... ¡y más allá! |
Un poquito más complicados son los Conjuntos de Julia.
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| ¡Qué bonitas son las Julias! 😍😍 |
Y un poquito más complicado es el Conjunto de Mandelbrot. ¿Os apetece verlo de cerca? (¡Más de dos horas de vídeo!).
Aquí lo cuentan en un vídeo (en inglés):
Reto II. (No es difícil, sólo hay que saber sumar). ¿Cuánto mide el Copo de nieve de Koch en la 3ª iteración? Se supone que el primer segmento mide 1.
Extra. ¿Cuánto mide la curva de Koch en la 4ª iteración? ¿Y en la 5ª? ¿Os atrevéis con la n-ésima iteración?
(P.D.) Arriba a la derecha iré actualizando la clasificación (¿vais a dejar que os gane un profe?).
14 marzo 2022
¡Feliz Día de Pi!
Ya sabéis que los ingleses van de raritos: conducen por la izquierda, no escriben como pronuncian, miden en unidades extrañas... y dicen antes el mes que el día. El 14 de marzo, para nosotros 14-3, es para ellos 3-14, ¡el Día de Pi! Siguiéndoles la corriente marzo es considerado "el mes de las matemáticas".
Para celebrarlo vamos a empezar una serie de entradas en las que os contaré cosas sobre Pi y en cada una os propondré un reto (algunos fáciles, otros más duros y, por ello, muy interesantes). Los que los resolváis todos entraréis en el sorteo de dos camisetas de Pi.
¿"Quién" es Pi?
Si giramos una rueda una vuelta completa, la longitud recorrida es tres veces y pico la longitud de su diámetro: es decir, como número p es tres y pico.
A lo largo de la historia p ha seguido apareciendo continuamente, por sorpresa muchas veces, en multitud de sitios. Hablaremos pronto de algunos de esos lugares, pero por ahora vamos a quedarnos con dos ejemplos curiosos:
- ¡en los ríos!
- y en la aguja de Buffon:
Naturalmente, la aproximación será mejor cuantos más lanzamientos hagamos. Aquí os enlazo una web en la que podéis hacer simulaciones:
Reto I. Vamos a empezar con un "p-trabalenguas".
Cuánto vale el área de la circunferencia grande si sabemos que:
- el radio de la pequeña es p,
- la circunferencia grande está fija,
- la circunferencia pequeña rueda sobre el interior de la grande (pegada a ella),
- cuando la pequeña da una vuelta completa a la grande y vuelve al sitio de partida, ha girado exactamente p vueltas sobre sí misma.
Recordatorio: en una circunferencia de radio r:
12 marzo 2022
07 marzo 2022
2º de ESO. Control de funciones lineales
Estoy seguro de que contabais con esto. Sacadme un rato estos días para darle un repaso a lo que hemos estado viendo. A la vuelta lo corregimos.
Por cierto, estos días de vagancia merecido descanso, aprovechad para inspiraos y hacer fotos para el concurso. Aquí tenéis una preciosidad que ha hecho un compañero:
05 marzo 2022
Correlación y Causalidad
(Es una entrada para mis chicos de bachillerato pero podéis entenderla todos).
Supongamos que nos piden que interpretemos el siguiente diagrama de dispersión de dos variables X e Y:
Diríamos que hay mucha relación (lineal creciente) entre las dos variables porque:
- a los valores pequeños de una le corresponden los pequeños de la otra,
- a los valores intermedios de una le corresponden los intermedios de la otra,
- a los valores grandes de una le corresponden los grandes de la otra,
es decir, las dos variables covarían (positivamente) juntas, cuando una crece, la otra también crece.
Entonces surge una pregunta: ¿es una variable causa, explicación de la otra? Y esto es una cuestión peliaguda. Vamos a suponer tres situaciones:
Situación 1: la variable X es tiempo (en segundos) y la variable Y es la temperatura de un líquido puesto al fuego dicha cantidad de tiempo.
Situación 2: la variable X es ventas de whisky (en decenas de litros) y la Y son ventas de coches (en unidades) en diez meses en La Rioja.
Situación 3: la variable X es el número de cigüeñas avistadas y la Y el número de nacimientos en diez días en Londres.
Interpretación:
Situación 1: claramente hay una relación de causa/efecto entre ambas variables. Cuanto más tiempo al fuego, mayor será la temperatura del líquido.
Situación 2: no parece que haya una relación de causa/efecto (¿la gente bebe whisky y le entran ganas de comprarse un coche?). Pero sí podría haber una tercera variable oculta (que no estamos considerando) y que fuese causa de las dos: por ejemplo una variable Z que midiese la situación económica: es lógico que cuanto mejor sea la situación económica, aumenten las ventas de muchos tipos de productos.
Situación 3: en Internet hay trillones de datos y si te pones a hacer diagramas de dispersión a lo loco entre unos y otros, a veces puedes encontrar simples coincidencias. El número de cigüeñas y de nacimientos no tiene absolutamente nada que ver.
Moraleja: que haya una relación entre dos variables no significa que exista una relación de causalidad entre ambas. Puede ocurrir que sí la haya, que exista una variable oculta que es la causa de las dos o que todo se deba a una simple casualidad.
22 febrero 2022
2º de ESO. Examen del Tema 7. Sistemas de ecuaciones.
Para el jueves me hacéis el examen de la otra clase (y así acabáis de conocer a la familia de Federico). Quiero que:
- repaséis la parte de operaciones (es la misma en los dos exámenes) y,
- en 15 minutos de reloj, intentéis plantear los problemas del examen que no habéis hecho (sin resolverlos),
- ah, y a ver si sois capaces de pillar la idea de los extras.
21 febrero 2022
2º de ESO. Preparando el examen global/recuperación/repaso de la 2ª evaluación
Sé que soy muy canso pero hacedme caso: tenéis que esforzaros con el álgebra. O la domináis vosotros a ella -y disfrutaréis haciéndolo- o va a ser "un grano en el culo" año tras año en las mates del instituto -os lo ilustro con una imagen (os puedo asegurar que es de las más agradables con las que me he encontrado en la búsqueda con Google)-.
Os cuelgo exámenes de otros años:
20 febrero 2022
2º de ESO. Material del Tema 8. Funciones
El Análisis es una de las ramas más importantes de las matemáticas, tanto desde un punto de vista teórico como de aplicación. Vamos a hacer nuestro primer acercamiento serio que irá teniendo cada vez más importancia en vuestras asignaturas del instituto. No es difícil pero hay que trabajar duro.
Seguiremos el siguiente índice:
1) Definición.
2) Funciones polinómicas de grado 1 (rectas).
3) Funciones polinómicas de grado 2 (parábolas).
4) Representación e interpretación gráfica.
Y usaremos el siguiente material:
Material complementario: la hoja anterior contiene las tareas y problemas típicos que quiero que dominéis. A continuación os voy a colgar, simplemente para que lo tengáis a vuestra disposición quienes queráis profundizar un poquito, el material que preparé para las clases durante el confinamiento hace un par de años (sí, mis alumnos me acabaron odiando más de lo que ya me odiaban).
19 febrero 2022
Reto VII. ¡Venganza!
Soluciones del Reto VI:
Solución del Reto 6 de 1º y 2º de ESO (Nivel Évariste Galois)
Solución del Reto 6 de 3º y 4º de ESO (Nivel Carl Friedrich Gauss)
Solución del Reto 6 de 1º y 2º de Bachillerato (Nivel Sophie Germain)
En el próximo hemos incluido las preguntas del reciente Concurso de Primavera que "derrotaron" a todos los valientes participantes de nuestro instituto. ¡A por ellos!
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