Entrega de premios de los Retos Matemáticos

Enhorabuena a Alan, Martín y Sofía.

Sólidos platónicos

Deben su nombre a que Platón (uno de los más grandes filósofos de la antigüedad, cuando filósofo significaba "chico para todo") fue el primero en estudiarlos.

La pregunta que Platón se planteó fue: si considero los polígonos regulares (aquellos en los que todos los lados y ángulos miden lo mismo: triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular, hexágono regular, heptágono regular,...), ¿qué figuras de tres dimensiones puedo formar juntando polígonos iguales?

Y la respuesta es que sólo hay 5 posibilidades (es una demostración bonita). Aquí los tenéis (imagen de la Wikipedia):

Aparecen en la naturaleza, por ejemplo en estructuras moleculares.

Ejercicio: divide el día de tu cumpleaños entre 4 y:

- si el resto es 0 te ha tocado el tetraedro,

- si el resto es 1 te ha tocado el octaedro,

- si el resto es 2 te ha tocado el dodecaedro, y

- si el resto es 3 te ha tocado el icosaedro.

Si lo haces a un nivel Víctor tienes un punto extra en el próximo examen.

(P.D.) Las reclamaciones si os ha tocado el más difícil, a vuestros padres: ¡que hubiesen calculado mejor el día!

(P.D.2) Si os habéis quedado con ganas aquí tenéis más:

Sólidos arquimedianos

Concurso de Primavera

Vuestra brillante y encantadora compañera Sofía ganó en la Fase Regional del Concurso de Primavera la medalla de oro en el nivel de Bachillerato y el resto de nuestros "guerreros" también compitieron muy bien. ¡El año que viene más!

¡Enhorabuena a Sofía y muchas gracias a todos por vuestro esfuerzo!

Fallo del II Concurso de fotografía

Fallo del jurado

Concurso de TikTok

 Haz clic en la imagen para ir a las instrucciones y el formulario de inscripción:

III Reto de Pi: Arquímedes

Si me pedís que os haga una lista con los más grandes matemáticos de la Historia, en esa lista estarían, en la cima, Arquímedes, Newton, Euler y Gauss. La muerte del primero está envuelta en la leyenda: 

Enlace a un artículo sobre Arquímedes

Uno de sus logros matemáticos más famosos fue dar la aproximación 22/7 = 3'14... para p (por eso el 22 de julio se celebra el "Día de la aproximación arquimediana de p"). ¿Cómo lo hizo? Con polígonos regulares de 96 lados. Vamos a ver la idea.

A Arquímedes se le ocurrió que como p es el área de una circunferencia de radio 1 podía aproximarla construyendo polígonos dentro de ella (inscritos; la aproximación sería por defecto) y polígonos por fuera (circunscritos; aproximaría por exceso).

Se puso manos a la obra y empezó con el hexágono (es cómodo porque con los radios se forman seis triángulos equiláteros y así sus lados miden lo mismo que el radio). La idea es ésta:

Las cuentas las tenéis en el primer ejercicio del siguiente examen (y la conclusión en el segundo):

Cuentas con el hexágono

Luego siguió haciendo lo mismo con polígonos de 12, 24, 48 y 96 lados (la vida no le dio para más; cuantos más lados, más se acercan los polígonos a la circunferencia y mejor es la aproximación). ¿Por qué esta duplicación? Porque es fácil (nivel 2º de ESO), una vez que tienes los datos de un polígono de un número determinado de lados (radio, lado y apotema), obtener los del polígono con el número doble de lados. Vamos a verlo con el paso del cuadrado al octógono (ese va a ser nuestro reto).

Reto III. Para calentar aproxima p calculando las áreas de los cuadrados inscrito y circunscrito de una circunferencia de radio 1 (cuya área es, por lo tanto p; es una aproximación muy "bruta"). Va el dibujo y las pistas:

Y ahora aproxima p calculando las áreas de los octógonos inscrito y circunscrito de una circunferencia de radio 1 (cuya área es, por lo tanto p). Van las pistas:

1) Apunta cuánto valen la apotema y el lado del cuadrado inscrito (a y l) que has hecho antes. Con esos datos el lado L y la apotema A del octógono inscrito salen con un par de Pitágoras.

2) El octógono circunscrito se forma con rectas tangentes a la circunferencia (líneas discontinuas en el dibujo). Y en este caso se forman dos triángulos rectángulos isósceles que nos permiten obtener el lado L del octógono circunscrito. Como la apotema es 1, ya tenemos el área.

Epílogo. El método de Arquímedes se siguió utilizando durante 1500 años para calcular más cifras decimales de  p. Entre las historias más curiosas de los que dedicaron literalmente años enteros de sus vidas a hacer los cálculos, está la de Ludolph van Ceulen, que consiguió 35 cifras exactas con un polígono de 2⁶² lados y ¡pidió que las grabaran en su tumba!

Hoy en día todos esos cálculos son prácticamente instantáneos utilizando una hoja de cálculo:

Pasados estos 1500 años los matemáticos encontraron mejores formas de aproximar p... CONTINUARÁ.

Retos. ¡Clasificación final!

¡Enhorabuena a los ganadores y muchas gracias a todos los que lo habéis intentado!

Soluciones del Reto VIII:

 Solución del Reto 8 de 1º y 2º de ESO (Nivel Évariste Galois)

Solución del Reto 8 de 3º y 4º de ESO (Nivel Carl Friedrich Gauss)

Solución del Reto 8 de 1º y 2º de Bachillerato (Nivel Sophie Germain)

Y recordad que para matar el gusanillo tenéis los Retos de Pi:

Reto 1

Reto 2

II Reto de Pi: el conjunto de Mandelbrot

Os presento una de las imágenes más famosas de las matemáticas:

Conjunto de Mandelbrot

¿Qué es eso y qué tiene que ver con p?

Hagamos historia: a principios del siglo XX los matemáticos empezaron a estudiar un nuevo conjunto de objetos, los fractales. Simplificando mucho se trata de objetos cuya estructura se repite a distintas escalas. Se entiende bien con un ejemplo. Copio en la entrada de la Wikipedia del Copo de nieve de Koch.

Se toma un segmento, 

se divide en tres partes iguales, 

se remplaza la parte central por dos partes de igual longitud haciendo un ángulo de 60 grados. 

Luego, con los cuatro segmentos, se procede de la misma manera, lo que da lugar a 16 segmentos más pequeños en la segunda iteración. Y así sucesivamente.

Y esto seguiría hasta el infinito... ¡y más allá!

Un poquito más complicados son los Conjuntos de Julia.

¡Qué bonitas son las Julias! 😍😍

Y un poquito más complicado es el Conjunto de Mandelbrot. ¿Os apetece verlo de cerca? (¡Más de dos horas de vídeo!).

¿Y dónde demonios aparece p por ahí? En el culo y en el cuello:

p en el Conjunto de Mandelbrot

Aquí lo cuentan en un vídeo (en inglés):

Reto II. (No es difícil, sólo hay que saber sumar). ¿Cuánto mide el Copo de nieve de Koch en la 3ª iteración? Se supone que el primer segmento mide 1.

Extra. ¿Cuánto mide la curva de Koch en la 4ª iteración? ¿Y en la 5ª? ¿Os atrevéis con la n-ésima iteración?

(P.D.) Arriba a la derecha iré actualizando la clasificación (¿vais a dejar que os gane un profe?).

¡Feliz Día de Pi!

Ya sabéis que los ingleses van de raritos: conducen por la izquierda, no escriben como pronuncian, miden en unidades extrañas... y dicen antes el mes que el día. El 14 de marzo, para nosotros 14-3, es para ellos 3-14, ¡el Día de Pi! Siguiéndoles la corriente marzo es considerado "el mes de las matemáticas".

Para celebrarlo vamos a empezar una serie de entradas en las que os contaré cosas sobre Pi y en cada una os propondré un reto (algunos fáciles, otros más duros y, por ello, muy interesantes). Los que los resolváis todos entraréis en el sorteo de dos camisetas de Pi.

¿"Quién" es Pi?

Si giramos una rueda una vuelta completa, la longitud recorrida es tres veces y pico la longitud de su diámetro: es decir, como número p es tres y pico.

A lo largo de la historia p ha seguido apareciendo continuamente, por sorpresa muchas veces, en multitud de sitios. Hablaremos pronto de algunos de esos lugares, pero por ahora vamos a quedarnos con dos ejemplos curiosos:

- ¡en los ríos!

- y en la aguja de Buffon:

Naturalmente, la aproximación será mejor cuantos más lanzamientos hagamos. Aquí os enlazo una web en la que podéis hacer simulaciones:

Simulador de la aguja de Buffon

Reto I. Vamos a empezar con un "p-trabalenguas".

Cuánto vale el área de la circunferencia grande si sabemos que:

- el radio de la pequeña es p,

- la circunferencia grande está fija,

- la circunferencia pequeña rueda sobre el interior de la grande (pegada a ella),

- cuando la pequeña da una vuelta completa a la grande y vuelve al sitio de partida, ha girado exactamente p vueltas sobre sí misma.

Recordatorio: en una circunferencia de radio r:

Reto VIII

 Soluciones del Reto VII:

 Solución del Reto 7 de 1º y 2º de ESO (Nivel Évariste Galois)

Solución del Reto 7 de 3º y 4º de ESO (Nivel Carl Friedrich Gauss)

Solución del Reto 7 de 1º y 2º de Bachillerato (Nivel Sophie Germain)

Reto VII. ¡Venganza!

Soluciones del Reto VI:

 Solución del Reto 6 de 1º y 2º de ESO (Nivel Évariste Galois)

Solución del Reto 6 de 3º y 4º de ESO (Nivel Carl Friedrich Gauss)

Solución del Reto 6 de 1º y 2º de Bachillerato (Nivel Sophie Germain)

En el próximo hemos incluido las preguntas del reciente Concurso de Primavera que "derrotaron" a todos los valientes participantes de nuestro instituto. ¡A por ellos!

Reto VI

 Soluciones del Reto V:

 Solución del Reto 5 de 1º y 2º de ESO (Nivel Évariste Galois)

Solución del Reto 5 de 3º y 4º de ESO (Nivel Carl Friedrich Gauss)

Solución del Reto 5 de 1º y 2º de Bachillerato (Nivel Sophie Germain)

¡A por el siguiente!

9 de febrero: Concurso de Primavera

Concurso de Primavera

¡Ya se acerca la primavera!

La Consejería de Educación, Cultura, Deporte y Juventud del Gobierno de La Rioja, junto con el Departamento de Matemáticas y Computación de la Universidad de La Rioja y A prima (Asociación de Profesores RIojanos de MAtemáticas), han convocado el XXIV Concurso de Primavera de Matemáticas.

¿Cuándo?  Pronto celebraremos la Primera fase para los alumnos del instituto. Os mantendré informados.

¿Quiénes podéis participar?  Todos los que queráis, comunicándoselo previamente a vuestro profesor de matemáticas.

¿Y después?  Los dos del instituto que en cada nivel obtengáis un mejor resultado accederéis a la Fase Final del concurso que se celebrará el sábado 23 de abril de 2022, en el Complejo Científico Tecnológico de la Universidad de La Rioja (Campus Universitario de la UR).

¿Quiénes competís? Hay varios niveles. En el vuestro competiréis con todos los alumnos de La Rioja.

¿Y cómo será la prueba? Os enlazo las que hicimos el año pasado:

PRUEBA DE 1º Y 2º DE ESO

PRUEBA DE 3º Y 4º DE ESO

PRUEBA DE BACHILLERATO

¿Merece la pena que os apuntéis? Es sobre todo una actividad recreativa para los que disfrutéis con las matemáticas y os queráis retar a vosotros mismos.

¿Cómo podéis prepararos? Viniendo a las sesiones preparatorias que los profesores del Sagasta estamos haciendo por las tardes (miércoles o jueves según niveles; si os animáis a las que quedan, hablad con vuestro profesor). Además la Sociedad Riojana de Profesores de Matemáticas ha creado una web en la que podéis consultar exámenes de otros años y resolver ejercicios online (pulsad directamente en Acceder, sin Usuario ni Contraseña; si los tenéis de otro año podéis usarlo).

Enlace a la Web del Concurso de Primavera

Reto V

Soluciones del Reto IV:

 Solución del Reto 4 de 1º y 2º de ESO (Nivel Évariste Galois)

Solución del Reto 4 de 3º y 4º de ESO (Nivel Carl Friedrich Gauss)

Solución del Reto 4 de 1º y 2º de Bachillerato (Nivel Sophie Germain)

Y como suele decirse, no hay quinto malo:

II Concurso de fotografía matemática

La imagen incluye fotos de (izquierda a derecha, arriba y abajo): Sarasibar, J., Martín, P., Díaz, M., Martínez del Águila, E., Martín, P. y Marañón, N.

El Departamento de Matemáticas del instituto os invita a participar en el II Concurso de fotografía matemática. A continuación os enlazo las bases (vale, os hago un spoiler de lo más importante, pandilla de mercenarios):

Los premios serán (en vales de material escolar), junto con un flamante polo del Sagasta:

• Primer premio: 50 €.
• Segundo premio: 30 €.
• Tercer premio: 20 €.

BASES DEL CONCURSO

Reto IV

¡A por el primero del año! Tenéis de plazo hasta el viernes 21.

La paradoja del conejo

Aquí va la solución al reto navideño:

Reto navideño de Federico

Es un problema famoso y la gracia está en que intentéis resolverlo sin buscar la solución en Internet. Para simplificar las cuentas vamos a ponernos en modo físicos y consideramos que Pi vale 3.

Supongamos que Federico (que mide 1 m) tiene un balón de baloncesto (de radio 12 cm; es irrelevante -ahí va a estar la gracia del problema-), lo rodea con una cuerda, luego añade 6 metros a dicha cuerda y coloca el balón en el centro de la circunferencia formada por dicha cuerda.

La pregunta es, ¿puede pasar Federico por el hueco que queda entre la cuerda y el balón? (entendiendo pasar como hacerlo de pie y pisando la pelota). Vamos a ver que sí:

Va el reto: supongamos que tenemos una cuerda que rodea a un planeta (cualquiera; podéis imaginar La Tierra pero no vale utilizar el dato del radio) o a una estrella (cualquiera). Si le añadimos 6 metros a dicha cuerda y colocamos el planeta (o la estrella) y la cuerda como hemos hecho con el balón, ¿cabe Federico por el hueco que queda entre el planeta (o estrella) y la cuerda?

Entre los que me enviéis la respuesta correcta (¡justificada con rigor y elegancia!) por Teams antes de Reyes sortearemos esto (si puedo me paso por la Uni a ver a Eduardo para que lo dedique):

Soluciones del tercer reto

 El año que viene más y mejor.

Solución del Reto 3 de 1º y 2º de ESO (Nivel Évariste Galois)

Solución del Reto 3 de 3º y 4º de ESO (Nivel Carl Friedrich Gauss)

Solución del Reto 3 de 1º y 2º de Bachillerato (Nivel Sophie Germain)

Aprovecho para, junto a los miembros de mi "familia", compartir un momento de espíritu navideño y desearos ¡FELICES FIESTAS!

Se les nota contentos