2º de ESO. Material del Tema 11. Áreas y volúmenes

Vamos con el último tema de la 3ª evaluación (¿a que os ha encantado lo de la 4ª evaluación?).

Un tema bonito y divertido pero exigente, no por la dificultad en sí sino porque vamos a trabajar la visión espacial y los ejercicios son largos y os van a obligar a una planificación a la que no estáis acostumbrados (pero que por eso mismo es una cualidad importante que tenéis que empezar a desarrollar).

Utilizaremos el siguiente material:

1) ÁREAS Y VOLÚMENES.

Apuntes de áreas

Apuntes de volúmenes

Sólidos de revolución

2) TRONCOS.

Apuntes tronco de cono

Ejercicio resuelto

Apuntes tronco de pirámide

Ejercicio resuelto

3) EJERCICIOS

Hoja de ejercicios

Modelo de examen

Solución

Solución (vídeo)

2º de ESO. Preparando el examen de Pitágoras y semejanza

 Aquí van los exámenes de otros años (los dos últimos son los del curso pasado):

Examen 1	Solución

Examen 2	Solución

Examen 3	Solución

Examen 4	Solución

Examen 5	Solución

Examen 6	Solución

Examen 2A Solución Examen 2C Solución

Concurso de TikTok

 Haz clic en la imagen para ir a las instrucciones y el formulario de inscripción:

III Reto de Pi: Arquímedes

Si me pedís que os haga una lista con los más grandes matemáticos de la Historia, en esa lista estarían, en la cima, Arquímedes, Newton, Euler y Gauss. La muerte del primero está envuelta en la leyenda: 

Enlace a un artículo sobre Arquímedes

Uno de sus logros matemáticos más famosos fue dar la aproximación 22/7 = 3'14... para p (por eso el 22 de julio se celebra el "Día de la aproximación arquimediana de p"). ¿Cómo lo hizo? Con polígonos regulares de 96 lados. Vamos a ver la idea.

A Arquímedes se le ocurrió que como p es el área de una circunferencia de radio 1 podía aproximarla construyendo polígonos dentro de ella (inscritos; la aproximación sería por defecto) y polígonos por fuera (circunscritos; aproximaría por exceso).

Se puso manos a la obra y empezó con el hexágono (es cómodo porque con los radios se forman seis triángulos equiláteros y así sus lados miden lo mismo que el radio). La idea es ésta:

Las cuentas las tenéis en el primer ejercicio del siguiente examen (y la conclusión en el segundo):

Cuentas con el hexágono

Luego siguió haciendo lo mismo con polígonos de 12, 24, 48 y 96 lados (la vida no le dio para más; cuantos más lados, más se acercan los polígonos a la circunferencia y mejor es la aproximación). ¿Por qué esta duplicación? Porque es fácil (nivel 2º de ESO), una vez que tienes los datos de un polígono de un número determinado de lados (radio, lado y apotema), obtener los del polígono con el número doble de lados. Vamos a verlo con el paso del cuadrado al octógono (ese va a ser nuestro reto).

Reto III. Para calentar aproxima p calculando las áreas de los cuadrados inscrito y circunscrito de una circunferencia de radio 1 (cuya área es, por lo tanto p; es una aproximación muy "bruta"). Va el dibujo y las pistas:

Y ahora aproxima p calculando las áreas de los octógonos inscrito y circunscrito de una circunferencia de radio 1 (cuya área es, por lo tanto p). Van las pistas:

1) Apunta cuánto valen la apotema y el lado del cuadrado inscrito (a y l) que has hecho antes. Con esos datos el lado L y la apotema A del octógono inscrito salen con un par de Pitágoras.

2) El octógono circunscrito se forma con rectas tangentes a la circunferencia (líneas discontinuas en el dibujo). Y en este caso se forman dos triángulos rectángulos isósceles que nos permiten obtener el lado L del octógono circunscrito. Como la apotema es 1, ya tenemos el área.

Epílogo. El método de Arquímedes se siguió utilizando durante 1500 años para calcular más cifras decimales de  p. Entre las historias más curiosas de los que dedicaron literalmente años enteros de sus vidas a hacer los cálculos, está la de Ludolph van Ceulen, que consiguió 35 cifras exactas con un polígono de 2⁶² lados y ¡pidió que las grabaran en su tumba!

Hoy en día todos esos cálculos son prácticamente instantáneos utilizando una hoja de cálculo:

Pasados estos 1500 años los matemáticos encontraron mejores formas de aproximar p... CONTINUARÁ.

2º de ESO. Material del Tema 10. Semejanza

Para mí éste es un tema precioso y espero que también os lo parezca a vosotros. Iremos avanzando:

1) SEMEJANZA.

Apuntes

2) TEOREMA DE TALES. TRIÁNGULOS SEMEJANTES.

Apuntes

Vídeo de la demostración del Teorema de Tales

Ejercicios ejemplo

Solución

3) TEOREMAS DE LA ALTURA Y EL CATETO.

Apuntes

Ejercicios ejemplo

Solución

Modelo de examen

Solución

Solución (vídeo)

Mapamundi

Si nos piden que pensemos en un mapa de nuestro planeta, a la mayoría nos viene algo así a la cabeza:

Mapamundi de Mercator

Y si a la vista del mismo nos preguntaran, por ejemplo, ¿qué es más grande, Groenlandia o África?, tendríamos que pensarnos la respuesta... aunque en realidad no hay mucho que pensar:

- Superficie de Groenlandia = 2'2 millones de km.

- Superficie de África = 30'4 millones de km.

Sí, África es unas 14 veces mayor que Groenlandia. ¡¿Qué está pasando aquí?!

Naturalmente todo tiene una explicación (¡matemática!) y es la siguiente:

No es posible representar, de forma semejante, la superficie de una esfera (y la Tierra lo es) en un plano. Es decir, podemos hacer "una especie de boceto", pero siempre habrá alguna distorsión.

El mapamundi más habitual (el de arriba) se basa en la proyección cartográfica de Mercator, que tiene la pega de que aumenta el tamaño de las regiones según se alejan del ecuador (y se acercan a los polos). Para que veáis más claro el "efecto mercator":

Hay otras opciones aunque todas tienen sus pegas. Por ejemplo, los dos siguientes mapamundis respetan mejor los tamaños de las regiones terrestres (¿cómo veis ahora lo de África y Groenlandia?), pero el primero es un lío para las distancias por mar y en el segundo es muy difícil orientarse:

Os enlazo dos artículos sobre este tema y otras curiosidades:

Todos los mapas que conoces están mal

El mapa que mejor respeta las proporciones también está mal