Construyendo mi ataúd

 Corpus hypercubus, de Salvador Dalí

Mido 1'94 y, cuando muera (¡lo que tengo que hacer para captar vuestra atención!), me gustaría que mi ataúd tuviese forma hipercúbica de 1 centímetro de arista. Ya os aseguro que quepo. ¿En qué dimensión empieza a ser eso posible?

Primero vamos a responder a tres preguntas:


1) ¿Cuánto mide el segmento más largo que puedo pintar encima de un segmento de 1 centímetro?

La respuesta es fácil, como mucho, encima de ése, podré pintar otro segmento que mida 1 centímetro.

2) ¿Cuánto mide el segmento más largo que puedo pintar en un papelito cuadrado de 1 centímetro de lado?

Claramente el segmento más largo que podemos pintar es la diagonal del cuadrado. Llamamos a Pitágoras:

Es decir, como mucho podemos pintar un segmento de longitud raíz de 2 = 1'4142... centímetros.


3) ¿Cuánto mide la varilla más larga que puedo meter dentro de un cubo de 1 centímetro de arista?

Es muy parecido al caso anterior: lo más largo de un cubo es su diagonal, y podemos calcular su longitud aplicando Pitágoras (notad que las diagonales de las caras, que son cuadrados, miden raíz de 2):

Es decir, la varilla más larga que cabe mide raíz de 3 = 1'732...


Conclusiones:

- en un segmento de 1 cm (dejadme rebautizarlo: "hipercubo de dimensión 1" con "arista" 1 cm), lo más grande que "cabe dentro" puede medir 1 cm,

- en un cuadrado de 1 cm de lado ("hipercubo de dimensión 2" con "arista" 1 cm), lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 2 = 1'4142... cm,

- en un cubo de 1 cm de arista ("hipercubo de dimensión 3" con arista 1 cm), lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 3 = 1'732... cm.

Efectivamente, esto sigue (matemáticamente existe y en el mundo real no lo sabemos -nadie ha demostrado que haya más de 3 dimensiones espaciales pero algunas teorías físicas sí plantean esta posibilidad-), y aunque hacer dibujos es (casi) imposible, las cuentas salen igual de fáciles y queda claro que las diagonales van siendo cada vez más y más largas:

- en un hipercubo de dimensión 4 con arista 1 cm, lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 4 = 2 cm,

- en un hipercubo de dimensión 5 con arista 1 cm, lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 5 = 2'236... cm,

- en general, en un hipercubo de dimensión n con arista 1 cm, lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de n cm.

Responded ahora: ¿de qué dimensión tenéis que construir un "hiperataúd" de 1 cm de arista para que quepa un profesor de matemáticas de 194 cm?


Nota final: he dicho antes que los dibujos son casi imposibles. De igual manera que en las fotos o en los cuadros representamos en 2 dimensiones (utilizando la perspectiva) la realidad de 3 dimensiones (fijaos también en cómo dibujamos un cubo), en 3 dimensiones pueden hacerse representaciones del hipercubo de 4 dimensiones. Son ejemplos el cuadro de Dalí del principio o algunos monumentos (haced clic en las imágenes para saber algo más de ellos):

Monumento de la Constitución, en Madrid

Arco de la Defensa, en París

"Dibujo" de un hipercubo 4D

2º de ESO. Examen de funciones

 Aquí lo tenéis.

Examen

Solución

Como siempre, dadle un buen repaso. Hacedlo en casa: lo recojo el próximo lunes.

Retos. ¡Clasificación final!

¡Enhorabuena a los ganadores y muchas gracias a todos los que lo habéis intentado!

Soluciones del Reto VIII:

 Solución del Reto 8 de 1º y 2º de ESO (Nivel Évariste Galois)

Solución del Reto 8 de 3º y 4º de ESO (Nivel Carl Friedrich Gauss)

Solución del Reto 8 de 1º y 2º de Bachillerato (Nivel Sophie Germain)

Y recordad que para matar el gusanillo tenéis los Retos de Pi:

Reto 1

Reto 2

2º de ESO. Material del Tema 9. Teorema de Pitágoras

En este tema vamos a ver y a sacarle partido al Teorema de Pitágoras. Al principio aprovecharemos para repasar el estudio de longitudes y áreas que vimos en 1º de ESO. Iremos en este orden:

1) Teorema de Pitágoras.

2) Repaso del estudio de longitudes y áreas.

3) Ejercicios de aplicación.

Utilizaremos el siguiente material:

Teorema de Pitágoras

Perímetros y áreas de figuras elementales (1º de ESO)

Ejercicios de repaso (1º de ESO)

Hoja de ejercicios

Ejemplos de ejercicios duros

Ejemplos de ejercicios duros (solución)

2º de ESO. Preparando el examen de funciones

Aquí os subo los exámenes de años anteriores (el 5 y el 6 son los del año pasado y los que más me gustan; en el 6 pasad del ejercicio 2):

Examen 1	Solución

Examen 2	Solución

Examen 3	Solución

Examen 4	Solución

Examen 5	Solución

Examen 6	Solución

Aquí van dos exámenes que incluyen algunas preguntas de dominios que son más de 3º de ESO (pasad de ellas):

Examen 7	Solución

Examen 8	Solución

II Reto de Pi: el conjunto de Mandelbrot

Os presento una de las imágenes más famosas de las matemáticas:

Conjunto de Mandelbrot

¿Qué es eso y qué tiene que ver con p?

Hagamos historia: a principios del siglo XX los matemáticos empezaron a estudiar un nuevo conjunto de objetos, los fractales. Simplificando mucho se trata de objetos cuya estructura se repite a distintas escalas. Se entiende bien con un ejemplo. Copio en la entrada de la Wikipedia del Copo de nieve de Koch.

Se toma un segmento, 

se divide en tres partes iguales, 

se remplaza la parte central por dos partes de igual longitud haciendo un ángulo de 60 grados. 

Luego, con los cuatro segmentos, se procede de la misma manera, lo que da lugar a 16 segmentos más pequeños en la segunda iteración. Y así sucesivamente.

Y esto seguiría hasta el infinito... ¡y más allá!

Un poquito más complicados son los Conjuntos de Julia.

¡Qué bonitas son las Julias! 😍😍

Y un poquito más complicado es el Conjunto de Mandelbrot. ¿Os apetece verlo de cerca? (¡Más de dos horas de vídeo!).

¿Y dónde demonios aparece p por ahí? En el culo y en el cuello:

p en el Conjunto de Mandelbrot

Aquí lo cuentan en un vídeo (en inglés):

Reto II. (No es difícil, sólo hay que saber sumar). ¿Cuánto mide el Copo de nieve de Koch en la 3ª iteración? Se supone que el primer segmento mide 1.

Extra. ¿Cuánto mide la curva de Koch en la 4ª iteración? ¿Y en la 5ª? ¿Os atrevéis con la n-ésima iteración?

(P.D.) Arriba a la derecha iré actualizando la clasificación (¿vais a dejar que os gane un profe?).

¡Feliz Día de Pi!

Ya sabéis que los ingleses van de raritos: conducen por la izquierda, no escriben como pronuncian, miden en unidades extrañas... y dicen antes el mes que el día. El 14 de marzo, para nosotros 14-3, es para ellos 3-14, ¡el Día de Pi! Siguiéndoles la corriente marzo es considerado "el mes de las matemáticas".

Para celebrarlo vamos a empezar una serie de entradas en las que os contaré cosas sobre Pi y en cada una os propondré un reto (algunos fáciles, otros más duros y, por ello, muy interesantes). Los que los resolváis todos entraréis en el sorteo de dos camisetas de Pi.

¿"Quién" es Pi?

Si giramos una rueda una vuelta completa, la longitud recorrida es tres veces y pico la longitud de su diámetro: es decir, como número p es tres y pico.

A lo largo de la historia p ha seguido apareciendo continuamente, por sorpresa muchas veces, en multitud de sitios. Hablaremos pronto de algunos de esos lugares, pero por ahora vamos a quedarnos con dos ejemplos curiosos:

- ¡en los ríos!

- y en la aguja de Buffon:

Naturalmente, la aproximación será mejor cuantos más lanzamientos hagamos. Aquí os enlazo una web en la que podéis hacer simulaciones:

Simulador de la aguja de Buffon

Reto I. Vamos a empezar con un "p-trabalenguas".

Cuánto vale el área de la circunferencia grande si sabemos que:

- el radio de la pequeña es p,

- la circunferencia grande está fija,

- la circunferencia pequeña rueda sobre el interior de la grande (pegada a ella),

- cuando la pequeña da una vuelta completa a la grande y vuelve al sitio de partida, ha girado exactamente p vueltas sobre sí misma.

Recordatorio: en una circunferencia de radio r:

Reto VIII

 Soluciones del Reto VII:

 Solución del Reto 7 de 1º y 2º de ESO (Nivel Évariste Galois)

Solución del Reto 7 de 3º y 4º de ESO (Nivel Carl Friedrich Gauss)

Solución del Reto 7 de 1º y 2º de Bachillerato (Nivel Sophie Germain)

2º de ESO. Control de funciones lineales

Estoy seguro de que contabais con esto. Sacadme un rato estos días para darle un repaso a lo que hemos estado viendo. A la vuelta lo corregimos.

Control de funciones lineales

Por cierto, estos días de vagancia merecido descanso, aprovechad para inspiraos y hacer fotos para el concurso. Aquí tenéis una preciosidad que ha hecho un compañero:

Correlación y Causalidad

(Es una entrada para mis chicos de bachillerato pero podéis entenderla todos).

Supongamos que nos piden que interpretemos el siguiente diagrama de dispersión de dos variables X e Y:

Diríamos que hay mucha relación (lineal creciente) entre las dos variables porque:

- a los valores pequeños de una le corresponden los pequeños de la otra,
- a los valores intermedios de una le corresponden los intermedios de la otra,
- a los valores grandes de una le corresponden los grandes de la otra,

es decir, las dos variables covarían (positivamente) juntas, cuando una crece, la otra también crece.


Entonces surge una pregunta: ¿es una variable causa, explicación de la otra? Y esto es una cuestión peliaguda. Vamos a suponer tres situaciones:

Situación 1: la variable X es tiempo (en segundos) y la variable Y es la temperatura de un líquido puesto al fuego dicha cantidad de tiempo.

Situación 2: la variable X es ventas de whisky (en decenas de litros) y la Y son ventas de coches (en unidades) en diez meses en La Rioja.

Situación 3: la variable X es el número de cigüeñas avistadas y la Y el número de nacimientos en diez días en Londres.

Interpretación:

Situación 1: claramente hay una relación de causa/efecto entre ambas variables. Cuanto más tiempo al fuego, mayor será la temperatura del líquido.

Situación 2: no parece que haya una  relación de causa/efecto (¿la gente bebe whisky y le entran ganas de comprarse un coche?). Pero sí podría haber una tercera variable oculta (que no estamos considerando) y que fuese causa de las dos: por ejemplo una variable Z que midiese la situación económica: es lógico que cuanto mejor sea la situación económica, aumenten las ventas de muchos tipos de productos.

Situación 3: en Internet hay trillones de datos y si te pones a hacer diagramas de dispersión a lo loco entre unos y otros, a veces puedes encontrar simples coincidencias. El número de cigüeñas y de nacimientos no tiene absolutamente nada que ver.


Moraleja: que haya una relación entre dos variables no significa que exista una relación de causalidad entre ambas. Puede ocurrir que sí la haya, que exista una variable oculta que es la causa de las dos o que todo se deba a una simple casualidad.