2º de ESO. Examen del Tema 1. Números enteros y divisibilidad

IMPORTANTE: los exámenes son una herramienta de estudio. Los preparas, los haces y luego te vas a casa, repasas los errores y las dudas y vuelves a intentar lo que no te ha salido. Aquí lo tenéis:

Examen

Solución

2º de ESO. Material del Tema 2. Números reales

En este tema empezaremos repasando cosas que vimos en 1º y luego vendrán las novedades. Y reviviremos uno de los momentos más importantes de la historia de las matemáticas (¡con asesinato incluido!). 

El índice será:

1) Números racionales (fracciones).

2) Números reales.

3) Operaciones con fracciones.

4) Estudio del error.

5) Problemas con fracciones: básicos y de la "suma" y el "producto".

Utilizaremos el siguiente material:

T02_01_Hoja de ejercicios

T02_02_Soluciones problemas con fracciones

T02_03_Repaso de operaciones con fracciones

T02_04_Ejercicios de exámenes

Infinitos (cuarta y última parte)

¡¡Peligro: matemática muy avanzada!!

(Los de bachillerato debéis seguir la entrada, entender la primera pregunta y hacer el ejercicio. Para el resto todavía es magia).

En las entregas anteriores hemos visto que:

1) Los números naturales, enteros y racionales (fracciones) son conjuntos infinitos que tienen el mismo número de elementos.

2) El conjunto de los números reales entre 0 y 1, escrito como intervalo (0, 1), tiene más elementos, son un "infinito más grande".

Hay dos preguntas interesantes:

i) ¿Y todos los números reales, son más que los que hay entre 0 y 1? La respuesta es que no, que son la misma cantidad. Pasa algo parecido a lo que ocurría con los naturales y los enteros: parecen más, pero podemos emparejarlos. Veamos cómo:

Por ejemplo (hay muchas otras maneras), utilizando la siguiente función biyectiva:

ii) ¿Existe algún conjunto "intermedio" entre los números naturales y los reales? Esto es uno de los problemas más importantes de la historia de las matemáticas y la respuesta es que:

- los matemáticos creyeron que no y lo intentaron demostrar durante varias décadas (se llama Hipótesis del continuo),

- en una época dramática para las matemáticas se demostró: Gödel en 1940, que no puede probarse ni que sea verdad ni que sea mentira  y, Cohen en 1963, que podemos hacer "dos" matemáticas suponiendo que sí hay un "infinito intermedio" o que no lo hay.

Os dejo dos vídeos en los que Mates Mike desarrolla lo que hemos estado viendo:

Infinitos (tercera parte)

Esta es una pildorita de matemáticas high level pero todos lo podéis entender. ¡Concentración!

Recordamos lo que ya hemos visto: los números naturales, enteros y racionales, son conjuntos infinitos con el mismo número de elementos. ¿Por qué? Porque podemos emparejarlos o, si pensamos que los números naturales son las habitaciones de un hotel, podemos alojar en él a todos los elementos de los otros dos conjuntos. Dicho de otra forma:

"Un conjunto infinito tiene los mismos elementos que el conjunto de los números naturales cuando puedo hacer una lista con sus elementos" (que sería la lista de las parejas o de la asignación de las habitaciones del hotel). A estos conjuntos se les dice infinitos numerables o contables.

La pregunta surge sola en una mente curiosa: ¿hay conjuntos infinitos más grandes que el de los números naturales?

Respuesta: sí.

¿Un ejemplo? El conjunto de los números reales entre 0 y 1. (Daría igual pero no vamos a incluir el 0 y el 1).

¿Alguna demostración que podamos entender? El razonamiento de la diagonal de Cantor:

1) Vamos a suponer que existe una lista con todos los números reales entre 0 y 1. La empiezo yo (los exactos los completo con ceros):

1) 0'14159534...

2) 0'33333333...

3) 0'71717171...

4) 0'21221222...

5) 0'30000000...

6) 0'00346447...

7) 0'79756474...

8) 0'43434356...

...                       

2) ¿Me sabéis construir un número (hay infinitos) que sepamos seguro que NO está en la lista?

Efectivamente, iríamos formando un número 0'... con:

- su primera cifra decimal distinta de 1, por ejemplo 2,

- su segunda cifra decimal distinta de 3, por ejemplo 4,

- su tercera cifra decimal distinta de 7, por ejemplo 8,

- ...

- y así hasta el infinito,

y es seguro que el número que vamos formando 0'24831587... NO está en la lista (porque tiene al menos una cifra distinta a la de cualquiera que sí lo esté).

3) Recapitulamos: hemos intentado construir una lista de todos los números reales entre 0 y 1 y resulta que siempre vamos a poder encontrar al menos uno que no está en esa lista (hay infinitos, pero nos hemos preocupado de encontrar uno). Yendo a nuestro hotel: ¡no hay suficientes habitaciones para tantos huéspedes!

4) Conclusión: acabamos de probar que los números reales entre 0 y 1 son más que los números naturales (y enteros y racionales).

Comentario final. Hay que hacer alguna precisión a lo que os he contado: recordad que muchos  números (infinitos de hecho) podemos escribirlos de más de una manera, por ejemplo:

0'3 = 0'2999999...

pero este detalle no afecta a la idea, así que no lo voy a contar (eso sí, aprovecho para colar una frase que me gusta mucho y quiero que tengáis siempre en cuenta: el diablo está en los detalles. En matemáticas hay que demostrarlo todo porque son muchas las veces en las que, al intentar ajustar detallitos aparentemente obvios y secundarios, se han descubierto nuevas matemáticas escondidas).

Continuará...

Infinitos (segunda parte)

Recapitulamos:

i) Decimos que, por ejemplo, el conjunto de los alumnos de una clase tiene 21 elementos, porque podemos hacer una lista y numerarla con los 21 primeros números naturales (el orden en el que los pongamos no importa, sólo nos interesa contar cuántos son):

1: Tiago.

2: Garazi.

3: Ibrahem.

...

19: Nicky. 

20: Micaela.

21: Rodrigo.


Ahora lo chungo:

ii) Decimos que un conjunto es infinito “del tamaño de los números naturales” (se dice numerable), cuando podemos poner todos sus elementos en una lista infinita y numerarlos (ordenarlos) con los números naturales. Otra forma de verlo es pensar que tenemos un hotel con infinitas habitaciones y números en las puertas (1, 2, 3, 4...) y nos llegan como huéspedes los elementos de un conjunto a los que tenemos que ir acomodando. ¿Tendremos sitio para todos?

Como vimos en la entrada anterior,

resulta que los números enteros son exactamente la misma cantidad que los naturales porque caben perfectamente en nuestro hotel y según van llegando los acomodamos en una habitación.

Seguimos. ¿Qué más conjuntos de números conocemos? Las fracciones (es decir, los números racionales). Así a ojo parece que son muchos, muchísimos más que los números naturales. Pues no, son exactamente los mismos, porque también podemos hacer una lista con ellos (o darles una habitación en nuestro hotel).

Nota: para no liarlo mucho en lo que sigue voy a considerar sólo las fracciones positivas, pero podríamos hacer el mismo "truquito" que hicimos con los enteros: asignar en la lista posiciones (o habitaciones) pares a las positivas e impares a las negativas (al 0 lo ponemos el primero).

Hay varias formas “famosas” de demostrarlo y la más sencilla la explica el siguiente dibujo: vamos poniendo todas las fracciones en filas; eso sí, recordad que hay infinitas fracciones para escribir un mismo número racional (nos quedamos con la fracción irreducible y tachamos las posteriores que son equivalentes), y los ordenamos según indica el recorrido de las flechas:

Sí, claramente así las recorremos todas. La lista/asignación de habitaciones nos queda:

Paramos aquí de momento. Hemos visto que:

i) Los números naturales son infinitos.

ii) Los números enteros son infinitos.

iii) Los números racionales (fracciones, es decir, números con desarrollo decimal exacto o periódico), son infinitos.

iv) Los tres conjuntos de números, naturales, enteros y racionales, son conjuntos infinitos con el mismo número de elementos. Esto naturalmente se nos hace raro (se dice que es una paradoja), porque si recordáis, los números naturales están incluidos en los números enteros y estos a su vez están incluidos en los racionales. ¡¡¿¿Eso no es como decir que en una clase hay 13 chicas de un total de 21 alumnos y que 13 es igual a 21??!! Sí, es decir eso mismo. Lo que pasa es que con conjuntos finitos es mentira, pero con conjuntos infinitos puede ser verdad.

v) Y se nos puede ocurrir una pregunta: ¿hay conjuntos más grandes? Dicho de otra forma, ¿hay conjuntos cuyos elementos "no quepan" en nuestro Hotel Federico? ¿Hay infinitos "más grandes" que el infinito de los números naturales?

Van un par de preguntas (para que entendáis fácilmente la próxima entrada necesito que respondáis a la segunda):

Pregunta 1. Siguiendo el método descrito más arriba, ¿qué fracción ocupa la habitación 23 en el Hotel Federico?

Pregunta 2. Imaginad que nos dan una lista de 10 números de 10 cifras escritos sólo con unos y doses, pero sólo nos dejan ver los números que forman la diagonal (detrás de cada X se esconde un uno o un dos pero no podemos verlo), en concreto:

Decid un número (de 10 cifras que sólo pueden ser unos o doses) que sepamos seguro que no está en esta lista.

Continuará...

Infinitos (primera parte)

Si os pregunto que me digáis cuántos números enteros hay en comparación con los naturales, seguramente la mayoría responderíais que el doble (más el cero). Parece claro, ¿no?:

La realidad es, cosas del infinito, ¡que hay los mismos números enteros que naturales!

Vamos allá:

Decimos que dos conjuntos tienen el mismo tamaño cuando podemos hacer parejitas con sus elementos. Por ejemplo:

Claramente el conjunto de la izquierda tiene los mismos elementos que el de la derecha (ambos son de tamaño 6) porque podemos emparejar sus elementos (hay más opciones, pero da igual: siempre nos salen 6 parejas):

1 - Plátano.
2 - Fresa.
3 - Manzana.
4 - Naranja.
5 - Pera.
6 - Uva.

Bien, parece sencillo, pero cuando interviene el infinito empiezan a pasar cosas "raras" y el asunto se complica.

Teorema: El conjunto de los números naturales

y el de los números enteros,

tienen el mismo número de elementos.

Demostración: ¿Podemos conseguir hacer parejitas con los elementos de uno y otro conjunto? Pues sí, por ejemplo:

1 con el cero.
2 con el 1.
3 con el -1.
4 con el 2.
5 con el -2.
6 con el 3.
7 con el -3.
8 con el 4.
Y así “hasta el infinito”.

A ver si lo habéis pillado:

i) ¿Qué números naturales se emparejan con los números enteros 100 y  –1000?

ii) ¿Qué números enteros se emparejan con los números naturales 60 y 77?

iii) Para bachillerato, ¿sabéis escribir "en condiciones" la regla general de a qué número entero queda emparejado un natural n cualquiera (la quiero única, que sirva para pares e impares)?

Fijaos en lo que hemos conseguido. Por muy sorprendente que nos parezca la conclusión es clara: hay un número natural por cada número entero, es decir, hay los mismos números enteros que números naturales.

Continuará...

1º bachillerato. Resolución de ecuaciones polinómicas

Os voy a plantear un reto que vamos a utilizar como excusa para darle un repaso a lo que habéis visto en la ESO.

Reto. Con una calculadora como única herramienta para hacer cuentas tenéis que encontrar, aproximada a la décima, una solución de esta ecuación:

Empiezo dándole un repaso a lo que os contamos en el instituto de las ecuaciones polinómicas. Al final va la novedad que hay que pillar.

Resolución de ecuaciones de 2º grado

¿De dónde sale la fórmula?

Esta idea ya la dominaban los matemáticos de hace miles de años. Aquí la tenéis expresada de tres maneras: la demostración algebraica, una bonita demostración gráfica sacada de la Wikipedia y el vídeo en el que os hago los dos ejemplos de arriba sin utilizar directamente la fórmula (deduciéndola):

Demostración algebraica

Imagen original de la Wikipedia

Resolución de ecuaciones de 3º grado

Sí, también hay fórmula:

Aquí nos cuentan cómo fue su descubrimiento. ¡Duelos matemáticos! Menuda panda.

Fórmula de las ecuaciones de 3º grado

¿Qué hacemos en el insti?

Resolución de ecuaciones de 4º grado

Se encontró la fórmula poco después de la de 3º grado y también hubo lío.

Fórmula de las ecuaciones de 4º grado

Y claro, el siguiente paso era...

Resolución de ecuaciones de 5º (y superior) grado

Tras trescientos años intentándolo:

- Abel demostró que no existe una fórmula general para todas las ecuaciones de grado 5 o superior.

- Galois, en una de las mayores exhibiciones intelectuales de la Historia de la Humanidad, demostró que se podían encontrar fórmulas particulares para algunas de esas ecuaciones pero no para otras y dio el método para saber cuándo había fórmula y cómo encontrarla. Esto es una asignatura entera en cursos altos de la carrera de Matemáticas en la Universidad.

Van un par de vídeos de Eduardo en los que habla de estas cosas (Abel y Galois, dos genios con vidas interesantes pero muy cortas):

Pista: método de la bisección

M'aquedao espesito en la parte final pero no lo vuelvo a grabar. 🙈

Extra:

Una "pijadilla" que no he querido incluir en el vídeo anterior.

2º de ESO. Material del Tema 1. Números enteros. Divisibilidad

Este tema es al 100% un repaso de lo que vimos en 1º el pasado curso. Seguiremos el siguiente índice:

1) Introducción.

2) Operaciones.

3) Divisibilidad.

• Definición y propiedades.
• Números primos. Teorema Fundamental de la Aritmética (TFA).
• Mínimo común múltiplo (MCM) y máximo común divisor (MCD).

Esencialmente utilizaremos el siguiente material:

T1_01_Propiedades de la divisibilidad

T1_02_Ejercicios de divisibilidad

T1_03_Controles

¡Bienvenidos!

Lo primero, agradecer a Sasha, recién titulado del Bachillerato Internacional en el Sagasta, la sugerencia para el nombre del blog: ¡me encanta! Julio Rey Pastor es uno de los mejores matemáticos nacido en España, un logroñés que terminó el Bachillerato en nuestro instituto en 1903. ¡Somos un centro "sin edificio" pero con mucha historia!

Este blog será un complemento a nuestras clases y en él os colgaré material (también lo haré en Teams), os contaré historias, divagaré... ¡Cuento con vuestra fanática participación!

Tres cosas para empezar:

1) Aquí tenéis un enlace a exámenes de 2º de ESO de cursos anteriores (en la mayoría hay solución escrita):

ENLACE A EXÁMENES DE CURSOS ANTERIORES

y aquí están los que puse el año pasado (la solución va en vídeo), que utilizaremos como ejercicios y referencia. Haciendo clic en la imagen de la izquierda (sale en la versión web pero no en la de teléfono), Exámenes antiguos 2º de ESO, podréis venir directamente a esta entrada.

Números enteros y divisibilidad A	Solución
Números enteros y divisibilidad C	Solución
Números reales A	Solución
Números reales C	Solución
Potencias y raíces A	Solución
Potencias y raíces C	Solución
Global 1ª EV A	Solución
Global 1ª EV C	Solución
Operaciones algebraicas A	Solución
Operaciones algebraicas C	Solución
Ecuaciones A	Solución
Ecuaciones C	Solución
Sistemas de ecuaciones A	Solución
Sistemas de ecuaciones C	Solución
Global 2ª EV	Solución
Funciones A	Solución
Funciones C	Solución
Pitágoras y Semejanza A	Solución
Pitágoras y Semejanza C	Solución
Global 3ª EV A	Solución
Global 3ª EV C	Solución

2) Barra de enlaces en la barra superior del blog. Sólo se ven en la versión web.

Academia Khan: un famoso proyecto premiado con el Princesa de Asturias de Cooperación internacional. Tiene material de muchas disciplinas.

Unicoos: una academia online dirigida por David Calle.

Susi: una profe youtuber muy visitada por mis alumnos de otros años. Me hablaban de ella y yo pensé al principio que era una profesora particular a la que iban. 🙈

Matemáticas contra el coronavirus: una web montada con la colaboración de muchos profesores de matemáticas pensada para ayudaros a trabajar desde casa en estos tiempos que nos ha tocado vivir.

Matemáticas.eu: una web con material para todos los niveles.

Antonio Omatos: una web que hace las veces de libro digital para la ESO creada por Antonio Omatos, profesor del Escultor Daniel y una referencia en la formación del profesorado en España.

A un nivel más divulgativo:

Gaussianos: un gran blog. Como curiosidad, soy profesor vuestro gracias a él (¡es el culpable!) porque lo usé para preparar el tema que me salió en la oposición.

Mates Mike: un canal de YouTube con excelentes vídeos.

Derivando: el canal de YouTube de Eduardo, un gran matemático de la Universidad de La Rioja que se ha convertido -merecidamente- en una estrella mediática.

Numberphile: matemáticas de mucho nivel en inglés. Esto es ya para los que estéis pensando en ser matemáticos en el futuro (¿hay alguien ahí? 😉).

3) Siempre me gusta empezar el curso enseñándoos un vídeo de Maryam Mirzajani, la primera mujer que ganó la Medalla Fields (el "Premio Nobel" de las matemáticas). Me parece muy triste que los héroes de la sociedad en la que vivimos sean tipos "en calzoncillos" que dan patadas a un balón y demás fauna de individuos que no destacan ni por su inteligencia, ni por su creatividad, ni por su valía humana, sino más bien por la ausencia de todas ellas.

Maryam murió por culpa de un cáncer hace poco más de cuatro años. El siguiente vídeo es cortito. Vedlo entero: