Infinitos (segunda parte)

Recapitulamos:

i) Decimos que, por ejemplo, el conjunto de los alumnos de una clase tiene 21 elementos, porque podemos hacer una lista y numerarla con los 21 primeros números naturales (el orden en el que los pongamos no importa, sólo nos interesa contar cuántos son):

1: Tiago.

2: Garazi.

3: Ibrahem.

...

19: Nicky. 

20: Micaela.

21: Rodrigo.


Ahora lo chungo:

ii) Decimos que un conjunto es infinito “del tamaño de los números naturales” (se dice numerable), cuando podemos poner todos sus elementos en una lista infinita y numerarlos (ordenarlos) con los números naturales. Otra forma de verlo es pensar que tenemos un hotel con infinitas habitaciones y números en las puertas (1, 2, 3, 4...) y nos llegan como huéspedes los elementos de un conjunto a los que tenemos que ir acomodando. ¿Tendremos sitio para todos?

Como vimos en la entrada anterior,

resulta que los números enteros son exactamente la misma cantidad que los naturales porque caben perfectamente en nuestro hotel y según van llegando los acomodamos en una habitación.

Seguimos. ¿Qué más conjuntos de números conocemos? Las fracciones (es decir, los números racionales). Así a ojo parece que son muchos, muchísimos más que los números naturales. Pues no, son exactamente los mismos, porque también podemos hacer una lista con ellos (o darles una habitación en nuestro hotel).

Nota: para no liarlo mucho en lo que sigue voy a considerar sólo las fracciones positivas, pero podríamos hacer el mismo "truquito" que hicimos con los enteros: asignar en la lista posiciones (o habitaciones) pares a las positivas e impares a las negativas (al 0 lo ponemos el primero).

Hay varias formas “famosas” de demostrarlo y la más sencilla la explica el siguiente dibujo: vamos poniendo todas las fracciones en filas; eso sí, recordad que hay infinitas fracciones para escribir un mismo número racional (nos quedamos con la fracción irreducible y tachamos las posteriores que son equivalentes), y los ordenamos según indica el recorrido de las flechas:

Sí, claramente así las recorremos todas. La lista/asignación de habitaciones nos queda:

Paramos aquí de momento. Hemos visto que:

i) Los números naturales son infinitos.

ii) Los números enteros son infinitos.

iii) Los números racionales (fracciones, es decir, números con desarrollo decimal exacto o periódico), son infinitos.

iv) Los tres conjuntos de números, naturales, enteros y racionales, son conjuntos infinitos con el mismo número de elementos. Esto naturalmente se nos hace raro (se dice que es una paradoja), porque si recordáis, los números naturales están incluidos en los números enteros y estos a su vez están incluidos en los racionales. ¡¡¿¿Eso no es como decir que en una clase hay 13 chicas de un total de 21 alumnos y que 13 es igual a 21??!! Sí, es decir eso mismo. Lo que pasa es que con conjuntos finitos es mentira, pero con conjuntos infinitos puede ser verdad.

v) Y se nos puede ocurrir una pregunta: ¿hay conjuntos más grandes? Dicho de otra forma, ¿hay conjuntos cuyos elementos "no quepan" en nuestro Hotel Federico? ¿Hay infinitos "más grandes" que el infinito de los números naturales?

Van un par de preguntas (para que entendáis fácilmente la próxima entrada necesito que respondáis a la segunda):

Pregunta 1. Siguiendo el método descrito más arriba, ¿qué fracción ocupa la habitación 23 en el Hotel Federico?

Pregunta 2. Imaginad que nos dan una lista de 10 números de 10 cifras escritos sólo con unos y doses, pero sólo nos dejan ver los números que forman la diagonal (detrás de cada X se esconde un uno o un dos pero no podemos verlo), en concreto:

Decid un número (de 10 cifras que sólo pueden ser unos o doses) que sepamos seguro que no está en esta lista.

Continuará...