Infinitos (primera parte)

Si os pregunto que me digáis cuántos números enteros hay en comparación con los naturales, seguramente la mayoría responderíais que el doble (más el cero). Parece claro, ¿no?:

La realidad es, cosas del infinito, ¡que hay los mismos números enteros que naturales!

Vamos allá:

Decimos que dos conjuntos tienen el mismo tamaño cuando podemos hacer parejitas con sus elementos. Por ejemplo:

Claramente el conjunto de la izquierda tiene los mismos elementos que el de la derecha (ambos son de tamaño 6) porque podemos emparejar sus elementos (hay más opciones, pero da igual: siempre nos salen 6 parejas):

1 - Plátano.
2 - Fresa.
3 - Manzana.
4 - Naranja.
5 - Pera.
6 - Uva.

Bien, parece sencillo, pero cuando interviene el infinito empiezan a pasar cosas "raras" y el asunto se complica.

Teorema: El conjunto de los números naturales

y el de los números enteros,

tienen el mismo número de elementos.

Demostración: ¿Podemos conseguir hacer parejitas con los elementos de uno y otro conjunto? Pues sí, por ejemplo:

1 con el cero.
2 con el 1.
3 con el -1.
4 con el 2.
5 con el -2.
6 con el 3.
7 con el -3.
8 con el 4.
Y así “hasta el infinito”.

A ver si lo habéis pillado:

i) ¿Qué números naturales se emparejan con los números enteros 100 y  –1000?

ii) ¿Qué números enteros se emparejan con los números naturales 60 y 77?

iii) Para bachillerato, ¿sabéis escribir "en condiciones" la regla general de a qué número entero queda emparejado un natural n cualquiera (la quiero única, que sirva para pares e impares)?

Fijaos en lo que hemos conseguido. Por muy sorprendente que nos parezca la conclusión es clara: hay un número natural por cada número entero, es decir, hay los mismos números enteros que números naturales.

Continuará...